Родиной Павла Сергеевича Александрова является город Богородск (ныне Ногинск) Московской губернии. Он рос в интеллигентной семье. Отец его был крупным представителем русской земской медицины, а мать занималась воспитанием детей и домашним хозяйством.
Среднее образование П. С. Александров получил в гимназии; среди товарищей был первым учеником и окончил гимназию с золотой медалью. Предметом увлечений гимназиста были литература и математика. Математикой стал увлекаться под влиянием учителя Александра Романовича Эйгеса, обаятельного и страстно влюбленного в свой предмет человека.
А. Р. Эйгес имел привычку на своих занятиях делать иногда «лирические отступления», посвящая учащихся в тайны математики, далеко выходящей за пределы школьного курса, знакомя их с современным состоянием науки и ее историей. Однажды он рассказал учащимся о Лобачевском и его геометрии. Это произвело потрясающее впечатление на молодого П. С. Александрова. Он с жаром стал изучать геометрию Лобачевского и навеки связал себя с геометрическими дисциплинами. Сам П. С. Александров по этому поводу пишет «Основные концепции геометрии Лобачевского в талантливом изложении А. Р. Эйгеса настолько увлекли меня, что заставили меня выбрать математику как будущую специальность».
Жажда больших знаний и тяга к самостоятельной работе в области математики были причиной поступления П. С. Александрова в Московский университет. В то время в университете работали ученые-математики Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин. Так что было у кого поучиться и с кого брать пример. Уже на первом курсе П. С. Александров становится активным участником семинара Д. Ф. Егорова. В этом семинаре будущий ученый знакомится с современной математикой и ее основными методами. На талантливого студента обратил внимание Н. Н. Лузин, который привлек П. С. Александрова в число своих молодых учеников, составлявших творческий коллектив по разработке новейших проблем математики.
Н. Лузин подолгу беседует со своим новым учеником и ставит перед ним одну из весьма сложных проблем по теории множеств. Эту проблему П. С. Александров решает успешно. Результаты составили первую печатную работу, выполненную П. С. Александровым в студенческие годы.
Окрыленный своим первым успехом, П. С. Александров по настоянию Н. Н. Лузина взялся за «проблему континуума». Тщетные попытки решить эту проблему (она не решена и до настоящего времени) приводят П. С. Александрова к разочарованию в своих математических способностях. Он прекращает занятия математикой и покидает Москву. Едет сначала в Смоленск, а затем в Чернигов. В Чернигове работает в отделе народного образования, читает публичные лекции по истории литературы и занимается театром. Но вопросам театра им напечатан ряд статей. Особенно большим успехом пользовались лекции П. А. Александрова по истории литературы. Эти лекции были настолько эмоциональны и увлекательны, что вызывали у слушателей бурю переживания.
Несмотря на огромный успех в области гуманитарных наук, какая-то неодолимая сила потянула П. С. Александрова опять к математике. В 1920 году П. С. Александров возвращается в Москву, чтобы целиком отдаться математике. В Москве он сдает магистерские экзамены и с головой уходит в научную работу.
В этот второй период московской жизни П. С. Александров подружился с Павлом Самуиловичем Урысоном (1898—1924). Вместе они закладывают фундаментальные основы современной абстрактной топологии.
Перу П. С. Александрова принадлежит более 150 научных работ, причем большинство из них относится к топологии. В настоящее время П. С. Александров является главой Московской топологической школы, к голосу которой прислушиваются математики всего мира.
П. С. Александров ведет большую педагогическую работу. Как профессор Московского университета, он читает лекции студентам, руководит специальными семинарами, консультирует аспирантов и молодых научных работников.
Тридцать лет П. С. Александров является бессменным президентом Московского математического общества и членом редколлегии журнала «Математический сборник», в котором печатаются статьи по самым новейшим открытиям в области современной математики.
За выдающиеся научные заслуги П. С. Александров в 1929 году избирается членом-корреспондентом, а в 1953 году — действительным членом Академии наук СССР. В 1943 году за исследования в области так называемых законов двойственности топологии П. С. Александрову была присуждена Государственная премия первой степени.
П. С. Александров — ученый с мировым именем. Он является членом Геттингенской академии наук (1945), Национальной академии наук США (1947), Американского философского общества (1947) и членом-корреспондентом Берлинской академии наук (1951).
Много внимания и сил П. С. Александров отдает учительству и средней школе. Для студентов и учителей им написан ряд замечательных учебных руководств (совместно с А. Н. Колмогоровым «Введение в теорию функций действительного переменного» и «Элементарная алгебра», «Основные понятия теории групп» и др.). Ряд статей научно-методического содержания опубликованы им в журнале «Математика в школе». П. С. Александров является вдохновителем традиционных математических олимпиад и популяризации математических знаний среди молодежи.
Ученый ратует за всестороннее развитие растущего человека. «Научитесь, — говорит он, — прежде всего любить свою работу, потому что она определяет человека членом общества. Научитесь любить красоту во всем бесконечном многообразии ее проявлений. Бывайте как можно больше на природе, занимайтесь спортом, научитесь предпочитать лыжную прогулку, хороший концерт или умную книгу всем видам пустопорожней траты времени. А главное, пусть всегда для вас и труд и отдых будут подлинными источниками настоящей радости, а не «так себе» живет на земле человек».
